*** Étude d'une population d'hippopotames

On étudie l'évolution du nombre d'hippopotames dans un parc naturel, depuis l'année 2000.
Cette évolution est modélisée par  une fonction $f$  définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$  par $f(t)={\displaystyle \frac{7500}{1+749{\text{e}}^{-0,15t}}}$  où $t$  désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000.

1. Calculer le nombre d'hippopotames présents dans le parc en 2000.
2. Étudier les variations de la fonction $f$  sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$  et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Étudier la convexité de la fonction $f$  sur $[0;+\mathrm{\infty }[$  et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Remarque

On retrouve ce type de fonction dans un modèle appelé « modèle de Verhulst  ». Pierre-François Verhulst est un mathématicien belge du XIX^e siècle ayant travaillé sur la dynamique des populations.